Question

10．已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線y²=4x的焦點作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=8，如果OA⊥OB，那么y₁y₂=-4．

Answer 1

分析 拋物線 y²=4x 的焦點作直線交拋物線于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點，故|AB|=x₁+x₂+2，由此易得弦長值．
設(shè)AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂的值．

解答 解：由題意，p=2，故拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1，
∵拋物線 y²=4x 的焦點作直線交拋物線于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點，
∴|AB|=x₁+x₂+2，
又x₁+x₂=6，
∴|AB|=x₁+x₂+2=8，
由題意可得F（1，0），設(shè)AB的方程為x=my+1，
代入拋物線方程y²=4x可得y²-4my-4=0，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂=-4，
故答案為：8，-4．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，由此關(guān)系將求弦長的問題轉(zhuǎn)化為求點到線的距離問題，大大降低了解題難度．