Question

已知α、β都是銳角，且sinβ=sinαcos（α+β）．
（1）當(dāng)α+β=

π

4

，求tanβ的值；
（2）當(dāng)tanβ取最大值時(shí)，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）將α+β=

π

4

代入已知等式，并且以

π

4

-β代替α，化簡(jiǎn)整理可得β的正弦和余弦的關(guān)系，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，可得tanβ的值；
（2）用兩角和的余弦公式將已知等式展開，再在兩邊都除以cosβ，得tanβ關(guān)于α的正弦和余弦的分式表達(dá)式，用同角三角函數(shù)的關(guān)系將此式化成并于tanα的表達(dá)式，最后用基本不等式求出tanβ取最大值，從而得到此時(shí)的tan（α+β）的值．

解答：解：（1）∵α+β=

π

4

，且sinβ=sinαcos（α+β）．
∴sinβ=

2

2

sin（

π

4

-β），整理得

3

2

sinβ-

1

2

cosβ=0，
∵β為銳角，
∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

．
（2）由題意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，
兩邊都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

=

tanα

2tan2α+1

=

1

2tanα+ 1 tanα

∵α是銳角，∴2tanα+

1

tanα

≥2

2tanα• 1 tanα

=2

2

因此，tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

≤

1

2 2

=

2

4

．
當(dāng)且僅當(dāng)

1

tanα

=2tanα?xí)r，取“=”號(hào)，
∴tanα=

2

2

時(shí)，tanβ取得最大值

2

4

，
由此可得，tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出α、β的正弦余弦的表達(dá)式，求β的正切最大值并求此時(shí)α+β的正切值，著重考查了兩角和與差的余弦、兩角和的正切公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．