Question

【題目】已知函數(shù)， ，（其中， 為自然對數(shù)的底數(shù)， ……）.

（1）令，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)， ，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由對任意的恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可得到實數(shù)的值；（2）由（1）知，即，

令（， ）則，所以，令，求和后利用放縮法可得，從而可得的最小值.

所以，.

試題解析：（1）因為

所以，

由對任意的恒成立，即，

由，

（i）當(dāng)時， ， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以時， ，

所以不滿足題意.

(ii)當(dāng)時，由，得

時， ， 時， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以的最小值為 .

設(shè)，所以，①

因為

令得，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，②

由①②得，則.

（2）由（1）知，即，

令（， ）則，

所以，

所以

，

所以，

又，

所以的最小值為.