Question

（本小題滿分14分）

       在四棱錐中，側(cè)面底面，，為中點，底面是直角梯形，，=90°,，。

       （I）求證：平面；

       （II）求證：平面；

       （III）設(shè)為側(cè)棱上一點，，試確定的值，使得二面角為45°。

 

Answer 1

【答案】

（I）證明見解析。

（II）證明見解析。

（III）

【解析】（I）取PD的中點F，連結(jié)EF，AF，

因為E為PC中點，所以EF//CD，且

在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，

所以EF//AB，EF=AB，四邊形ABEF為平行四邊形，

所以BE//AF，         ……………………………………………………2分

BE平面PAD，AF平面PAD，

所以BE//平面PAD。        ………………………………………………4分

（II）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥AD。     …………………………………………………………3分

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D—xyz。

則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）.

                          ……………………………………6分

所以…………8分

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

所以BC⊥平面PBD。………………………9分

（III）平面PBD的法向量為

……10分

所以，……………………11分

設(shè)平面QBD的法向量為n=（a，b，c），

，

由n，n，得  所以，

所以n=  ……………………12分

所以 ………………13分

注意到，得。                ………………14分