Question

把一個周長為24cm的長方形圍成一個圓柱（即作為圓柱的側(cè)面），當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱底面周長與高的比為（　�。�

• A、2：1
• B、л：1
• C、1：2
• D、2：л

Answer 1

分析：設(shè)圓柱高為x，即長方形的寬為x，則圓柱底面周長即長方形的長為12-x，圓柱底面半徑：R=

12-x

2π

，圓柱的體積V=

x3-24x2+144x

4π

，利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)取最大值時(shí)的x值，進(jìn)而可得答案．

解答：解：設(shè)圓柱高為x，即長方形的寬為x，
則圓柱底面周長即長方形的長為

(24-2x)

2

=12-x，
∴圓柱底面半徑：R=

12-x

2π

∴圓柱的體積V=πR²h=π（

12-x

2π

）²x=

x3-24x2+144x

4π

，
∴V′=

3x2-48x +144

4π

=

3(x-4)(x-12)

4π

，
當(dāng)x＜4或x＞12時(shí)，V'＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)4＜x＜12時(shí)，y'＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞12時(shí)，函數(shù)無實(shí)際意義
∴x=4時(shí)體積最大
此時(shí)底面周長=12-x=8，
該圓柱底面周長與高的比：8：4=2：1
故選：A

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓柱的幾何特征，其中將圓柱的體積表示為x的函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，是解答的關(guān)鍵．