Question

18．已知函數f（x）=2log₂²x-4λlog₂x-1在x∈[1，2]上的最小值是-$\frac{3}{2}$，則實數λ的值為（　�。�

• A． λ=-1
• B． λ=$\frac{1}{2}$
• C． λ=$\frac{5}{8}$
• D． λ=$\frac{7}{16}$

Answer 1

分析 可設t=log₂x（0≤t≤1），即有g（t）=2t²-4λt-1在[0，1]上的最小值是-$\frac{3}{2}$，求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間[0，1]的關系，運用單調性可得最小值，解方程可得所求值．

解答 解：可設t=log₂x（0≤t≤1），
即有g（t）=2t²-4λt-1在[0，1]上的最小值是-$\frac{3}{2}$，
對稱軸為t=λ，
①當λ≤0時，[0，1]為增區(qū)間，即有g（0）為最小值，且為-1，不成立；
②當λ≥1時，[0，1]為減區(qū)間，即有g（1）為最小值，
且為1-4λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$，不成立；
③當0＜λ＜1時，[0，λ）為減區(qū)間，（λ，1）為增區(qū)間，
即有g（λ）取得最小值，且為2λ²-4λ²-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$（負的舍去）．
綜上可得，$λ=\frac{1}{2}$．
故選B．

點評 本題考查可化為二次函數的最值的求法，注意運用換元法和對數函數的單調性，討論二次函數的對稱軸和區(qū)間的關系，考查運算能力，屬于中檔題．