Question

（本小題滿分12分）

如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是，D是AC的中點。

   （1）求證：平面；

   （2）求二面角的大小；

   （3）求直線與平面所成的角的正弦值．

 

     

 

Answer 1

【答案】

（1）平面

（2）=, 即二面角的大小是

（3）直線與平面D所成的角的正弦值為

【解析】解法一：（1）設與相交于點P，連接PD，則P為中點，

D為AC中點，PD//。

    又PD平面D，

    //平面D   ……………………(４分)

   （2）正三棱住，

     底面ABC。

    又BDAC

    BD

    就是二面角的平面角。

    =，AD=AC=1

    tan =

    =, 即二面角的大小是 …………………(８分)

   （3）由（2）作AM，M為垂足。

    BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

    BD平面，

    AM平面，

    BDAM

    BD = D

    AM平面，連接MP，則就是直線與平面D所成的角。

    =，AD=1，在RtD中，=，

    ，。

   

    直線與平面D所成的角的正弦值為…………………(1２分)

    解法二：

    （1）同解法一

    （2）如圖建立空間直角坐標系，

    則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），=（-1，0，-）

設平面的法向量為n=（x，y，z）

    則n

    n

    則有，得n=（，0，1）

    由題意，知=（0，0，）是平面

    ABD的一個法向量。

    設n與所成角為，

    則，

   

    二面角的大小是

   （3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）

    則

    直線與平面D所成的角的正弦值為