Question

已知函數(shù)．
（1）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若a＞0，試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若b∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x在（0，4）上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點(diǎn)（x₀，y₀） 處的切線相同，
由于f′（x）=x+2a，g′（x）=，
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即
解得 x₀=a或x₀=-3a （舍去），
將x₀=a代入上述方程組中的第一個(gè)方程，得b=-3a²lna，
∴b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為：b=-3a²lna（a＞0）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x
=．
∵h(yuǎn)（x）在（0，4）上恒為單調(diào)增函數(shù)，
所以恒成立，在b∈[-2，2]時(shí)恒成立，
即對(duì)x∈（0，4）恒成立．
∴3a²≥-x²+2x=-（x-1）²+1對(duì)x∈（0，4）恒成立，
∴3a²≥1，
∴或．
綜上，a的取值范圍是：或．
分析：（1）設(shè)公共點(diǎn)（x₀，y₀），根據(jù)題意得到f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)已知h（x）為單調(diào)增函數(shù)，則h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，再轉(zhuǎn)化為對(duì)x∈（0，4）恒成立，解出a的取值范圍即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等知識(shí)，是一道關(guān)于函數(shù)的綜合題，屬于中檔題．