Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-1，對一切x∈（0，+∞），3f（x）≥g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，

  13

  +3ln

  13 -3

  2

  ）
• B、（-∞，4]
• C、（-∞，6]
• D、[5，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對一切x∈（0，+∞），3f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-1-3xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤x+

1

x

+3lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(x+

1

x

+3lnx)min，x∈（0，+∞）．
利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可．

解答： 解：對一切x∈（0，+∞），3f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-1-3xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤x+

1

x

+3lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(x+

1

x

+3lnx)min，x∈（0，+∞）．
令u（x）=x+

1

x

+3lnx，x∈（0，+∞）．
則u′（x）=1-

1

x2

+

3

x

=

x2+3x-1

x2

，
由u′（x）=0得，x=

13 -3

2

，
故可知當(dāng)x=

13 -3

2

時(shí)函數(shù)u（x）有最小值為

13

+3ln

13 -3

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

13

+3ln

13 -3

2

）．

點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分離參數(shù)法、等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．好像不對呀，做不出了