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如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的長；

（Ⅱ）當a為何值時，MN的長最小；

（Ⅲ）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.

答案：
解析：

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，如圖

∴MN=PQ.

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴AC=BF=，  .

即CP=BQ=.

∴MN=PQ=

（0＜a＜）.

（Ⅱ）由（Ⅰ），MN=，

所以，當a=時，MN=.

即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為.

（Ⅲ）取MN的中點G，連結AG、BG，如圖

∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

cosα=.

故所求二面角α=arccos（－）.


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=
2
，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、如圖把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下面結論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結論的序號為
①③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜
2
），則MN的長的最小值為 （　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求證：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在線段BE上存在點M，使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為
6
3
，試確定點M的位置．
（文）若AD=2，求四棱錐E-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•溫州二模）如圖，正方形ABCD與正方形CDEF所成的二面角為60°，則直線EC與直線AD所成的角的余弦值為
2
4
2
4
．

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