Question

等比數列{a_n}的公比q＞1，其第17項的平方等于第24項，求使a1+a2+…+an＞

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

成立的最小正整數n的值．

Answer 1

分析：設首項為a₁，公比為q，依題意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，可得 a₁q⁹=1，不等式即

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，
求出 n＞19，由n∈N_*，可得n的最小值為20．

解答：解：設首項為a₁，公比為q，依題意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，∴a₁q⁹=1．
∵{a_n}為等比數列，∴{

1

an

}是以

1

a1

為首項，

1

q

為公比的等比數列．
只需

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，∵q＞1，把a₁²=q^-18代入整理，得q-18(qn-1)＞q(1-

1

qn

)，
∴qⁿ＞q¹⁹，∴n＞19，∵n∈N_*，∴n的最小值為20．

點評：本題考查等比數列的定義和性質，等比數列的前n項和公式，得到

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，是解題的關鍵