Question

 

如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K，左頂點(diǎn)為A．

    （Ⅰ）求證：KF平分∠MKN；

        （Ⅱ）直線AM、AN分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，

設(shè)直線MN的傾斜角為，試用表示

線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）法一：作MM₁⊥于M₁，

NN₁⊥于N₁，則，

又由橢圓的第二定義有

∴∴∠KMM₁=∠KNN₁，

即∠MKF=∠NKF，

∴KF平分∠MKN

法二：設(shè)直線MN的方程為.

設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為,

由

∴

設(shè)KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可.

∵  ∴

而

即 得證.

（Ⅱ）由A，M，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為

由A，N，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線MN的方程為.由

∴

 

則：

又直線MN的傾斜角為，則，∴

∴時(shí)，