Question

已知函數(shù)，（）

（1）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)且時(shí)，令，()，()為曲線y=上的兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（3）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，滿足條件.

【解析】

試題分析：（1）求，要函數(shù)由極值，也就是有實(shí)數(shù)解，由于是關(guān)于的二次函數(shù)，則由便求得的取值范圍；（2）求，需要對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，或，在這兩種情況下分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意分類討論問題，應(yīng)弄清對哪個(gè)字母分類討論，分類應(yīng)不重不漏；（3）是探索性問題，要說明存在是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

且斜邊中點(diǎn)在y軸上，需要證明，該方程有解，要對進(jìn)行分類討論分別說明.

試題解析：（1），若存在極值點(diǎn)，

則有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

所以，解得 .

（2），

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

當(dāng)且時(shí)，

假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上.

則且.

不妨設(shè).故，則.

，該方程有解，

當(dāng)時(shí)，，代入方程得，

即，而此方程無實(shí)數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，則；

當(dāng)時(shí)，，代入方程得，即，

設(shè)，則在上恒成立.

∴在上單調(diào)遞增，從而，則值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040504044831749443/SYS201404050405268956303063_DA.files/image055.png">.

∴當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程有解.

綜上所述，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，函數(shù)的極值，構(gòu)造法.