Question

在圓上任取一點，設(shè)點在軸上的正投影為點．當(dāng)點在圓上運動時，動點滿足，動點形成的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點，若、是曲線上的兩個動點，且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）解法一是從條件得到點為線段的中點，設(shè)點，從而得到點的坐標(biāo)為，利用點在圓上，其坐標(biāo)滿足圓的方程，代入化簡得到曲線的方程；解法二是利用相關(guān)點法，設(shè)點，點，通過條件確定點與點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并利用點的坐標(biāo)表示點的坐標(biāo)，再借助點在圓上，其坐標(biāo)滿足圓的方程，代入化簡得到曲線的方程；（2）先利用條件將化簡為，并設(shè)點，從而得到的坐標(biāo)表達式，結(jié)合點，將的代數(shù)式化為以的二次函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，求出的取值范圍.
試題解析：（1）解法1：由知點為線段的中點.
設(shè)點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是.
因為點在圓上，所以.
所以曲線的方程為；
解法2：設(shè)點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，
由得，，．
因為點在圓上， 所以．     ①
把，代入方程①，得．
所以曲線的方程為；
（2）解：因為，所以．
所以．
設(shè)點，則，即．
所以，
因為點在曲線上，所以．
所以．
所以的取值范圍為.
考點：1.相關(guān)點法求軌跡方程；2.平面向量的數(shù)量積；3.二次函數(shù)的最值