Question

如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)（含正方體表面）任取一點(diǎn)M，則

AA1

•

AM

≥1的概率p=（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：本題是幾何概型問(wèn)題，欲求點(diǎn)M滿足

AA1

•

AM

≥1的概率，先以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積公式得出點(diǎn)M到平面ABCD的距離大于等于

1

2

，點(diǎn)M的軌跡是正方體的一部分，求出其體積，再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法求解即可．

解答： 解：正方體的體積為V=8，
以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸．
那么A（0，0，0），A₁（0，0，2）
設(shè)M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]
∴

AM

=（x，y，z），

AA1

=（0，0，2）
則

AA1

•

AM

≥1，即2z≥1，z≥

1

2

．
即點(diǎn)M與平面ABCD的距離大于等于

1

2

，
點(diǎn)M的軌跡是正方體的

3

4

，
其體積為：V₁=

3

4

×8=6，
則

AA1

•

AM

≥1的概率p=

6

8

=

3

4

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型、幾何概型的應(yīng)用、幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．