Question

已知f（x）=（x³-ax）ln（x²+1-a）（a∈R）
（Ⅰ）若方程f（x）=0有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在（0，1）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且滿足x₂=2x₁，若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若方程f（x）=0有3個(gè)不同的根，則方程x²=a有兩個(gè)不同的根，x²+1-a＞0，且要保證x能取到0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，換元，存在t₁∈（0，

a

2

），使得g（t₁）=0，另外有a∈（

a

2

，1），使得g（a）=0，再利用反證法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=0得：x³-ax=0或ln（x²+1-a）=0
可得x=0或x²=a且x²+1-a＞0
∵方程f（x）=0有3個(gè)不同的根，
∴方程x²=a有兩個(gè)不同的根
∴a＞0
又∵x²+1-a＞0，且要保證x能取到0，
∴1-a＞0 即a＜1
∴0＜a＜1．
（Ⅱ）∵f′（x）=（3x²-a）ln（x²+1-a）+

2x2(x2-a)

x2+1-a

令x²=t，設(shè)g（t）=（3t-a）ln（t+1-a）+

2t(t-a)

t+1-a

∴g（0）=-aln（1-a）＞0，g（1）=（3-a（ln（2-a）+

2(1-a)

2-a

∵0＜a＜1，
∴2-a＞1，
∴g（1）＞0．g（a）=0，g（

a

2

）=

a

2

ln（1-

a

2

）-

a2

2-a

∵0＜a＜1，∴g（

a

2

）＜0
∴存在t₁∈（0，

a

2

），使得g（t₁）=0，另外有a∈（

a

2

，1），使得g（a）=0
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在（0，1）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且滿足x₂=2x₁，
則存在x₁∈（0，

a 2

），使得f′（x₁）=0，另外有f′（

a

）=0，即x₂=

a

∴x₁=

a

2

，∴f′（

a

2

）=0，即（1-

3

4

a）ln（1-

3

4

a）+

3

2

a=0 （*）
設(shè)h（a）=（1-

3

4

a）ln（1-

3

4

a）+

3

2

a
∴h′（a）=-

3

4

aln（1-

3

4

a）+

3

4

∵0＜a＜1，∴h′（a）＞0，
∴h（a）在（0，1）上是增函數(shù)
∴h（a）＞h（0）=0
∴方程（*）無解，
即不存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在（0，1）上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且滿足x₂=2x₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查反證法的運(yùn)用，有難度．