Question

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（ⅰ）若直線垂直于軸，求的大小;

（ⅱ）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.21世紀(jì)教育網(wǎng)

由題意可知：，.             ……………………………………2分

所以.            

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.      ……………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.設(shè).

（�。┊�(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為.

由 解得：或

即（不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方）.

………………………………………5分

則直線的斜率，直線的斜率.

因?yàn)?，

所以 .

所以 .                       ………………………………………6分

（ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為.

由消去得：.

因?yàn)?點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，顯然.

                 ………………………………………8分

因?yàn)?，，，

所以

       

       

        .

所以 .                           

所以 為直角三角形.              ………………………………………11分

假設(shè)存在直線使得為等腰三角形，則.

取的中點(diǎn)，連接，則.

記點(diǎn)為.

另一方面，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以 點(diǎn)的縱坐標(biāo).

所以

.

所以 與不垂直，矛盾.

所以 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，不存在直線使得為等腰三角形.

………………………………………13分