Question

如圖，已知直線l：x=my+1過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F，拋物線：x2=4

3

y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，當(dāng)m變化時(shí)，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試證明當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)N(

5

2

，0)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件能夠求出c=1，b=

3

，從而求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系推導(dǎo)λ₁+λ₂的值．
（Ⅲ）由題設(shè)條件想辦法證明點(diǎn)N(

5

2

，0)在既直線l_AE上，又在直線l_BD上，∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)(

5

2

，0)．

解答：解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點(diǎn)F（1，0），∴c=1，
拋物線x2=4

3

y的焦點(diǎn)坐標(biāo)(0，

3

)，∴b=

3

∴b²=3
∴a²=b²+c²=4∴橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1

（Ⅱ）易知m≠0，且l與y軸交于M(0，-

1

m

)，
設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

?(3m2+4)y2+6my-9=0
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1•y2=-

9

3m2+4

又由

MA

=λ1

AF

∴(x1，y1+

1

m

)=λ1(1-x1，-y1)
∴λ1=-1-

1

my1

同理λ2=-1-

1

my2

∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)
∵

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=-

6m

3m2+4

•(-

3m2+4

9

)=

2m

3

∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

1

m

•

2m

3

=-

8

3

所以，當(dāng)m變化時(shí)，λ₁+λ₂的值為定值-

8

3

；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
方法1）∵lAE：y-y2=

y2-y1

4-x1

•(x-4)
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=y2+

y2-y1

4-x1

•(-

3

2

)=

2(4-x1)•y2-3(y2-y1)

2(4-x1)

=

2(4-my1-1)•y2-3(y2-y1)

2(4-x1)

=

3(y2+y1)-2my1y2

2(4-x1)

=

3× -6m 3m2+4 -2m× -9 3m2+4

2(4-x1)

=0
∴點(diǎn)N(

5

2

，0)在直線l_AE上，
同理可證，點(diǎn)N(

5

2

，0)也在直線l_BD上；
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)(

5

2

，0)
方法2）∵kEN=

y2

4- 5 2

=

2y2

3

kAN=

y1

x1- 5 2

=

y1

my1+1- 5 2

=

2y1

2my1-3

kEN-kAN=

2y2

3

-

2y1

2my1-3

=

2y2(2my1-3)-6y1

3(2my1-3)

=

4my1y2-6(y1+y2)

3(2my1-3)

=

4m× -9 3m2+4 -6× -6m 3m2+4

3(2my1-3)

=0
∴k_EN=k_AN∴A、N、E三點(diǎn)共線，
同理可得B、N、D也三點(diǎn)共線；
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)(

5

2

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題是橢圓的綜合應(yīng)用題，有一定的難度．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘隱含條件，仔細(xì)作答．