【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）若函數(shù)
在
處的切線與直線
平行，求實數(shù)
的值；
（2）試討論函數(shù)在區(qū)間
上的最大值；
（3）若
時，函數(shù)恰有兩個零點
，求證：
.
【答案】（1）
；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
【解析】
（1）直線
的斜率為
，即函數(shù)
在
處的導(dǎo)數(shù)為，由此列方程求得
的值.（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，對分成
兩類，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出最大值.（3）當(dāng)
時，將兩個零點代入函數(shù)的表達(dá)式，化簡得到
，設(shè)
化簡上式，求得
的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得這個表達(dá)式的取值范圍，由此證得
.
解：（1）由
，
，
由于函數(shù)在
處的切線與直線平行，
，解得.
（2）
，
由
，得
；由
，得
.
①當(dāng)
時，函數(shù)在
上單調(diào)遞減，
；
②當(dāng)
時，函數(shù)在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減.
.
（3）若時，恰有兩個零點
，
，
由
，
，
得
，
，
設(shè)，
，
，故
，
，
記函數(shù)
-lnt，因
，
在
遞增，
，
，
又，
，故成立.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）在一個選拔項目中，每個選手都需要進(jìn)行4輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰。已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為
、
、
、
，且各輪問題能否正確回答互不影響。
（Ⅰ）求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率；
（Ⅲ）該選手在選拔過程中回答過的問題個數(shù)記為
，求隨機變量的分布列和期望。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某100艘輪船在該泊位�？康臅r間（單位：小時），如果�？繒r間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統(tǒng)計結(jié)果如下表：
（1）設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均�？繒r間為
小時，求的值；
（2）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位�？�小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達(dá)，求這兩艘輪船至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
若函數(shù)
在
內(nèi)有且只有一個零點，求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)
時，若函數(shù)在
上的最大值和最小值的和為1，求實數(shù)a的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
且
）.
(1)判斷函數(shù)
在
上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)
時，若不等式
對于
恒成立，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（14分）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）求實數(shù)b的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)a=1時，是否同時存在實數(shù)m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[
，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在長方
中，
，
，E為
的中點，以
為折痕，把
折起到
的位置，且平面
平面
.
（1）求證:
；
（2）在棱
上是否存在一點P，使得
平面
，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由.
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