Question

（12分）已知圓的方程為,橢圓的方程，且離心率為，如果與相交于兩點(diǎn)，且線段恰為圓的直徑.

（Ⅰ）求直線的方程和橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,橢圓上是否存在點(diǎn),使得,如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；

（Ⅱ）存在P點(diǎn)坐標(biāo)為，

【解析】(Ⅰ) 解法一：若直線斜率不存在，則直線的方程為，由橢圓的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，A,B的中點(diǎn)為（4，0），又線段AB恰為圓的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，因此直線斜率存在，…………1分

所以可設(shè)AB直線方程為，且設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),      設(shè)橢圓方程,…………………2分

將AB直線方程為代入到橢圓方程得，即（1），………………………………4分

，解得，故直線AB的方程為,…………6分

將代入方程（1）得5x²－40x+100－4b²=0. ，

，得.                   …………………………………7分=，得，解得b²=9..

故所求橢圓方程為.     ………………………………………………8分

解法二：   設(shè)橢圓方程,…………1分

又設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則,

又,兩式相減，得，……3分

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+4(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0，.

若，直線的方程為，由橢圓的對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，A,B的中點(diǎn)為（4，0），又線段AB恰為圓的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，所以.

因此直線斜率存在,且 =－1,故直線AB的方程為,  ……5分

代入橢圓方程，得5x²－40x+100－4b²=0 .   ………………………………6分

 ，，得.……………………7分

|AB|=, 

得，解得b²=9.故所求橢圓方程為.  ……8分

(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304393704686174/SYS201205230442327187167320_DA.files/image033.png">的中點(diǎn)是原點(diǎn),

所以,所以與共線， …………………10分，

而直線AB的方程為y=－x+5,所以直線所在的直線方程為y=－x. 

，或.

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，.     …………………12分