Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值；

（2）設(shè)在(0,2)內(nèi)恰有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到函數(shù)的最值；（2）先求出f′（x），由題意知：mx2﹣4x+m＝0在（0，2）有兩個變號零點，即在（0，2）有兩個變號零點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可．

（1），∴p′（x）＝ex﹣，

∴p″（x）＝ex+＞0恒成立

所以p′（x）＝ex﹣在[1,2]單調(diào)遞增，

∵p'（1）＝e﹣3＜0，，∴x0∈（1，2），使p'（x0）＝0，

當(dāng)x∈[1，x0]時，p'（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈[x0，2]時，p'（x）＞0，p（x）單調(diào)遞增．

又，>e+2

∴p（x）在[1，2]上的最大值為p（2）＝e2﹣3ln2+2．

（2），，

由題意知：=0在(0,2)有兩個變號零點，

即在(0,2)有兩個變號零點

令，，

令則x=1，且時，，g(x)單調(diào)遞增；時，g(x)單調(diào)遞減，

又g(0)=0,g(1)=2,g(2)=，