如圖1，在直角梯形
中, 
,
把△
沿對角線
折起后如圖2所示(點
記為點
),
點在平面
上的正投影
落在線段
上, 連接
.
(1) 求直線
與平面
所成的角的大小;
(2) 求二面角
的大小的余弦值.
圖1 圖2
(1) 解:在圖4中,
∵
∴
, 
,
.
∵
,
∴△
為等邊三角形.
∴
.
…2分
在圖5中,
∵點
為點
在平面
上的正投影,
∴
平面.
∵
平面,
∴
.
∵
,
∴
.
∵
平面
,
平面,
∴
平面.
∴
為直線
與平面所成的角. …4分
在Rt△
中, 
,
∴
.
∵
,
∴
.
∴直線與平面所成的角為
.
…6分
(2) 解:取
的中點
, 連接
,
.
∵ 
,
∴ 
.
∵平面,
平面,
∴
.
∵
平面
,
平面,
∴
平面.
∵
平面,
∴
.
∴
為二面角
的平面角. …8分
在Rt△
中,
,
∴
,
.
在Rt△
中,
.
在Rt△中，
.
∴二面角的大小的余弦值為
.
…12分
方法二:
解:在圖4中,
∵
∴, ,
.
∵,
∴△為等邊三角形.
∴.
…2分
在圖5中,
∵點為點在平面上的射影,
圖4
∴平面.
∵平面,
∴.
∵,
∴.
∵平面,
平面,
∴平面.
…4分
連接
,
在Rt△
和Rt△
中,
,
∴Rt△
Rt△.
∴
.
∴
.
∴
.
在Rt△
中，
.
∴
.
在Rt△中，
.
…6分
以點為原點,
所在直線為
軸,與平行的直線為
軸,
所在直線為
軸,建立空
間直角坐標系
,則
,
,
,
,
.
∴
,
,
,
.
(1)∵
,
∴
.
∴ 直線與平面所成的角為.
…9分
(2) 設平面
的法向量為n
,
由
得
令
,
得
,
.
∴n
為平面的一個法向量.
∵為平面的一個法向量,
∴
.
∵二面角的平面角為銳角,
∴二面角的平面角的余弦值為.
…12分
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年山西省高三上學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖1，在直角梯形
中，
，
，
，
. 把
沿對角線
折起到
的位置,如圖2所示,使得點
在平面
上的正投影
恰好落在線段上，連接
,點
分別為線段
的中點．
(1)求證：平面
平面
；
(2)求直線
與平面
所成角的正弦值；
(3)在棱
上是否存在一點
,使得到點
四點的距離相等？請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年北京市海淀區(qū)高三5月期末練習（二模）理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖1，在直角梯形
中，
，
，
，
. 把
沿對角線
折起到
的位置,如圖2所示,使得點
在平面
上的正投影
恰好落在線段上，連接
,點
分別為線段
的中點．
(I)求證：平面
平面
；
(II)求直線
與平面
所成角的正弦值；
(III)在棱
上是否存在一點
,使得到點
四點的距離相等？請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省高三4月模擬理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖1，
在直角梯形
中， 
， 
，
，
為線段
的中點. 將
沿
折起，使平面
平面
，得到幾何體
，如圖2所示.
（1）求證:
平面
；
（2）求二面角
的余弦值. 
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省汕頭市高二下學期期中文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖1，在直角梯形
中，
，
，且
．
現(xiàn)以
為一邊向形外作正方形
，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，
為
的中點，如圖2．
（1）求證：
∥平面
；
（2）求證：
平面
；
（3）求點
到平面的距離.
圖
圖
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科目：高中數(shù)學 來源：2010年天津市天津一中高三下學期第五次月考數(shù)學（理） 題型：解答題
如圖1，在直角梯形
中, 
,
把△
沿對角線
折起后如圖2所示(點
記為點
), 點在平面
上的正投影
落在線段
上, 連接
.
(1) 求直線
與平面
所成的角的大小;
(2) 求二面角
的大小的余弦值.
圖1 圖2
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