Question

將2006表示成5個(gè)正整數(shù)之和. 記. 問(wèn)：

（1）     當(dāng)取何值時(shí)，S取到最大值；

（2）     進(jìn)一步地，對(duì)任意有，當(dāng)取何值時(shí)，S取到最小值. 說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

解析： （1） 首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值。 若, 且使 取到最大值，則必有

                 (*)

事實(shí)上，假設(shè)（*）不成立，不妨假設(shè)。則令，,()

有，。將S改寫(xiě)成

同時(shí)有 。于是有。這與S在時(shí)取到最大值矛盾。所以必有 . 因此當(dāng)取到最大值。        

（2）當(dāng)且時(shí)，只有

（I）                    402， 402， 402， 400， 400；

（II）                  402， 402， 401， 401， 400；

（III）                402， 401， 401， 401， 401；

 三種情形滿足要求。        

而后面兩種情形是在第一組情形下作，調(diào)整下得到的。根據(jù)上一小題的證明可以知道，每調(diào)整一次，和式 變大。 所以在情形取到最小值。