Question

一座大橋長1 km，車輛通過的最高限速為36 km/h，為確保大橋安全，規(guī)定車輛通過大橋時相鄰兩車的最小車距l(xiāng) (m)與車速v (m/s)的立方成正比，當(dāng)車速為10 m/s時，兩車的最小車距為25 m，現(xiàn)有某部隊的一車隊，共25輛同一型號的大型汽車，車身長為a m,問:當(dāng)首輛汽車入橋頭時，車隊?wèi)?yīng)以怎樣的速度v (m/s)勻速前進，才能在最短的時間內(nèi)全部通過大橋？

Answer 1

解：設(shè)l=kv³,因為25=k·1 000,所以k=,車隊過橋所用時間

t=v²(0＜v≤10).

    求導(dǎo)得t′=［v³-］=0,

    所以v=5·(m/s).

(1)當(dāng)5≤10,即0＜a≤8(m)時，

t=f(v)在(0，10)內(nèi)有唯一的極小值.故v=5m/s時,過橋時間t最短；

(2)當(dāng)5＞10，即a＞8(m)時，t′＜0，所以t=f(v)是減函數(shù).故當(dāng)v=10 m/s時,過橋時間最短.