Question

8．已知f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，它在區(qū)間[0，1）上單調遞減，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性先求出函數在（-1，1）上為減函數，結合函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化即可得到結論．

解答 解：∵f（1-a）+f（1-a²）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-a²），
又∵f（x）是奇函數，則-f（1-a²）=f（a²-1），
∴f（1-a）＜f（a²-1），
又∵f（x）在區(qū)間[0，1）上是減函數，
則f（x）在（-1，1）上是減函數，
∴有1-a＞a²-1；
又∵函數的定義域為（-1，1）；
∴-1＜1-a＜1，-1＜1-a²＜1；
綜合有$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜1-{a}^{2}＜1}\\{1-a＞{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，解可得0＜a＜1；
故a的取值范圍為（0，1）．

點評 本題考查不等式的求解，利用奇偶性與單調性的綜合，將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．