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若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an，bn∈N*）．
（1）求a4+b4的值；
（2）證明：bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
；
（3）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)．試證：當n為偶數(shù)時，[(1+
2
)n]=2bn-1．當n為奇數(shù)時，上述結果是否依然成立？如果不成立，請用bn表示[(1+
2
)n]（不必證明）
（1）(1+
2
)4=
C04
+
C14
•
2
+
C24
(
2
)2+
C34
(
2
)3+
C44
(
2
)4=12
2
+17，
所以a4=12，b4=17，a4+b4=29．                               …（3分）
（2）當n為偶數(shù)時，(1+
2
)n=
C0n
+
C1n
•
2
+
C2n
(
2
)2+…+
Cnn
(
2
)n，bn=
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cnn
(
2
)n，
而(1-
2
)n=
C0n
+
C1n
•(-
2
)+
C2n
(-
2
)2+…+
Cnn
(-
2
)n，(1+
2
)n+(1-
2
)n=2[
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cnn
(
2
)n]，
所以bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
成立．                                  …（6分）
當n為奇數(shù)時，(1+
2
)n=
C0n
+
C1n
•
2
+
C2n
(
2
)2+…+
Cnn
(
2
)n，bn=
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cn-1n-1
(
2
)n-1，
而(1-
2
)n=
C0n
+
C1n
•(-
2
)+
C2n
(-
2
)2+…+
Cnn
(-
2
)n，(1+
2
)n+(1-
2
)n=2[
C0n
+
C2n
(
2
)2+
C4n
(
2
)4+…+
Cn-1n-1
(
2
)n-1]，
所以bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
成立．                                …（9分）
（3）由（2）可得2bn=(1+
2
)n+(1-
2
)n是正整數(shù)，-1＜1-
2
＜0，所以當n為偶數(shù)時，0＜(1-
2
)n＜1，…（12分）
則有2bn-1＜(1+
2
)n＜2bn，
所以2bn-1是不超過(1+
2
)n的最大整數(shù)，[(1+
2
)n]=2bn-1．     …（14分）
當n為奇數(shù)時，[(1+
2
)n]=2bn．                                  …（16分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）對于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“P數(shù)對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“類P數(shù)對”．設函數(shù)f（x）的定義域為R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數(shù)對”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數(shù)對”，且當x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數(shù)，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數(shù)對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an，bn∈N*）．
（1）求a4+b4的值；
（2）證明：bn=
(1+
2
)n+(1-
2
)n
2
；
（3）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)．試證：當n為偶數(shù)時，[(1+
2
)n]=2bn-1．當n為奇數(shù)時，上述結果是否依然成立？如果不成立，請用bn表示[(1+
2
)n]（不必證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)二模）若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈Z）．
（1）求a5+b5的值；
（2）求證：數(shù)列{bn}各項均為奇數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)二模）若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈z），a5+b5=（　�。�

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