Question

【題目】已知橢圓：，圓：，一動(dòng)圓在軸右側(cè)與軸相切，同時(shí)與圓相外切，此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線，橢圓與曲線有相同的焦點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線與橢圓相交于第一象限點(diǎn)，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）在（2）的條件下，如果橢圓的左頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，與直線：分別交于，兩點(diǎn)，證明：四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，，計(jì)算化簡得到答案.

（2）計(jì)算，則，得到答案.

（3）計(jì)算，，，直線的方程為，令，得，得到答案.

（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)閯?dòng)圓在軸右側(cè)與軸相切，同時(shí)與圓相外切，所以，所以，化簡整理得，

曲線的方程為.

（2）依題意，，，可得，故點(diǎn)坐標(biāo)為，

橢圓的另一焦點(diǎn)為，

由兩點(diǎn)間的距離可得，

又由橢圓的定義得，.

所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（3）由（2）知，，直線的方程為，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)直線軸時(shí)，四邊形是等腰梯形，對(duì)角線的交點(diǎn)在軸上，此時(shí)直線的方程為，

由，，不妨取，，

故直線的方程為，將代入得，

所以直線的方程為，令，得，

即直線與軸的交點(diǎn)為，此時(shí)恰好為橢圓的右頂點(diǎn).