Question

15．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如圖．
（1）求證：平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）若正方體棱長(zhǎng)為1，求點(diǎn)A₁到面AB₁D₁的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BD∥B₁D₁，DC₁∥AB₁，由此能證明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
（2）設(shè)點(diǎn)A₁到面AB₁D₁的距離為h．由${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，能求出點(diǎn)A₁到面AB₁D₁的距離．

解答 證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BD∥B₁D₁，DC₁∥AB₁，
BD∩DC₁=D，D₁B₁∩AD₁=D₁，
BD，DC₁?平面BDC₁，D₁B₁，AB₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
解：（2）設(shè)點(diǎn)A₁到面AB₁D₁的距離為h．
∵正方體棱長(zhǎng)為1，∴AB₁=AD₁=B₁D₁=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∵${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×h×{S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×A{A}_{1}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴h=$\frac{A{A}_{1}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}}{{S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}}$=$\frac{1×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴點(diǎn)A₁到面AB₁D₁的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．