Question

如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.

（1）求二面角的的余弦值；

（2）求點(diǎn)到面的距離.

 

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：此題可用向量法來(lái)求解.（1）由題意易知，則在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，分別以、、為軸，為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，找出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線與直線所成角為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可確定點(diǎn)的坐標(biāo)，由平面內(nèi)向量、可求得平面平面的法向量，平面法向量為，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，可求出向量與夾角的余弦值，從而求出所求二面角的余弦值；（2）先求出平面的法向量，又點(diǎn)在平面內(nèi)，可求出向量的坐標(biāo)，由點(diǎn)到平面的向量計(jì)算公式可求得點(diǎn)到平面的距離.

試題解析：（1）∵∴．

在平面內(nèi)，過(guò)作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

由題意有，設(shè)，

則

由直線與直線所成的解為，得，

即，解得

∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，得，平面的法向量取為

設(shè)與所成的角為，則．

顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為． 5分

（2），，，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，

取，得，則點(diǎn)到平面的距離． 10分

考點(diǎn)：1.二面角；2.點(diǎn)到平面距離.