Question

2．已知數(shù)列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是等差數(shù)列，a₁=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{15}$，則數(shù)列{a_n}的前6項之和是$\frac{69}{112}$．

Answer 1

分析 由題意求出a_n，然后利用裂項相消法求數(shù)列{a_n}的前6項之和．

解答 解：∵數(shù)列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是等差數(shù)列，且a₁=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{15}$，
∴2d=$\frac{1}{3{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{3×\frac{1}{15}}-\frac{1}{\frac{1}{3}}=5-3=2$，則d=1．
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）×1=3+n-1=n+2$．
則${a}_{n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴數(shù)列{a_n}的前6項之和是$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}）=\frac{69}{112}$．
故答案為：$\frac{69}{112}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．