Question

設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個數(shù)為

（1）求的值及的表達(dá)式；（2）記，試比較的大��；若對于一切的正整數(shù)，總有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)為數(shù)列的前項的和，其中，問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：⑴              ------------------2分  

當(dāng)時，取值為1，2，3，…，共有個格點(diǎn)

當(dāng)時，取值為1，2，3，…，共有個格點(diǎn)

∴-      ------------------4分

（2）記，試比較的大小；若對于一切的正整數(shù)，總有成立，求實數(shù)的取值范圍；

解：由

則

-------------------5分

當(dāng)時，

當(dāng)時，-------------------6分

∴時，

時，

時，

∴中的最大值為-------------------8分

要使對于一切的正整數(shù)恒成立，

只需

∴-------------------9分

（3）設(shè)為數(shù)列的前項的和，其中，問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，說明理由。

解：--------------10分

將代入，化簡得，（﹡）-------------------11分

若時，顯然-------------------12分

若時     （﹡）式

化簡為不可能成立-------------------13分  

綜上，存在正整數(shù)使成立. - --------------14分