Question

已知F1、F2是橢圓

x2

50

+

y2

25

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)．
（1）求△PF₁F₂的周長(zhǎng)．
（2）若∠F1PF2=

π

3

，求△PF1F2的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得出a，b，c，由題意可知△PF₁F₂周長(zhǎng)=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c，進(jìn)而計(jì)算可得△PF₁F₂的周長(zhǎng)；
（2）先根據(jù)橢圓的方程求得c，進(jìn)而求得|F₁F₂|，設(shè)出|F₁P|=x，|PF₂|=y，利用余弦定理可求得xy的值，最后利用三角形面積公式求解．

解答：解：（1）由題意知：
橢圓的a=5

2

，b=5，c=5，
△PF₁F₂周長(zhǎng)=2a+2c=10

2

+10．
（2）：設(shè)|F₁P|=x，|PF₂|=y，c=5，
∴|F₁F₂|=10，x+y=10

2

，
在△PF₁F₂中利用余弦定理可得cos

π

3

=

x2+y2-100

2xy

=

200-2xy-100

2xy

=

1

2

求得xy=

100

3

，
∴△PF₁F₂的面積為

1

2

×sin

π

3

×xy=

1

2

×

3

2

×

100

3

=

25 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、橢圓的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．