Question

【題目】如圖，在棱長為的正方體中，，，分別是棱、和所在直線上的動點：

（1）求的取值范圍：

（2）若為面內的一點，且，，求的余弦值：

（3）若、分別是所在正方形棱的中點，試問在棱上能否找到一點，使平面?若能，試確定點的位置，若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點M為的中點，理由見解析

【解析】

（1）設，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范圍．
（2）設在，三邊上的投影分別是，轉化求出，即可得到它的余弦值．
（3）設與的交點為，連接，說明平面，過作于K，延長后交所在的直線于點M，則BM⊥平面．通過，求解即可．

解：（1）設，

則，
所以，
的取值范圍為；
（2）解：設在，三邊上的投影分別是，，，

則由于，

．
，
，

即，它的余弦值為
（3）解：設與的交點為．連接，

則由以及，知平面，
于是面面，在面內過作于K，延長后交所在的直線于點M，則BM⊥平面，

在平面內，由，
知，又，

∴．
這說明點M為的中點．