Question

12．已知拋物線Г：y²=12x的焦點(diǎn)為F，斜率為k的直線l與拋物線Г交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線的橫截距為a（a＞0），n=|AF|+|BF|，則2a-n=6．

Answer 1

分析 拋物線C：y²=12x的焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=-3，利用n=|MF|+|NF|，由拋物線的定義可得n=x_M+3+x_N+3=2x₀+6，求出線段MN的垂直平分線方程，確定線段MN的垂直平分線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線C：y²=12x的焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=-3．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），2x₀=x₁+x₂，2y₀=y₁+y₂，
∵n=|AF|+|BF|，
∴由拋物線的定義可得n=x₁+3+x₂+3=2x₀+6．
線段AB的垂直平分線方程為y-y₀=-$\frac{1}{k}$（x-x₀），
令y=0，x=ky₀+x₀=a，
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=12{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=12{x}_{2}}\end{array}\right.$，兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=12（x₁-x₂）
由k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∴ky₀=6，
∴a=6+x₀，
∴2a-n=6．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．