Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2），結(jié)合b_n=a_n+1-a_n可證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）中等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得$_{n}={2}^{n}$，即${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，再由累加法求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 （1）證明：由a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）（n≥2），
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n=2b_n-1（n≥2），
又a₁=2，a₂=4，∴b₁=a₂-a₁=4-2=2，
則$\frac{_{n}}{_{n-1}}=2（n≥2）$，
數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）∵數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴$_{n}={2}^{n}$，即${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+2$=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬中檔題．