Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，其離心率為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l：y＝kx＋m(|k|≤)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求|OP|的取值范圍．

 

Answer 1

解　(1)由已知，可得e²＝＝，所以3a²＝4b².又點(diǎn)M(1，)在橢圓C上，所以＋＝1.由以上兩式聯(lián)立，解得a²＝4，b²＝3.故橢圓C的方程為＋＝1.

(2)當(dāng)k＝0時(shí)，P(0,2m)在橢圓C上，

解得m＝±，所以|OP|＝.

當(dāng)k≠0時(shí)，由消去y并化簡(jiǎn)整理，得

(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，

Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＝48(3＋4k²－m²)>0，設(shè)A，B，P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₀，y₀)，則

綜上，所求|OP|的取值范圍是.