Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+2．
（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{-1，1，2，3，4}，記“f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)”為事件A，求A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b-6≤0，a＞0，b＞0}，記“關(guān)于x的方程f（x）=0有一個(gè)大于1的根和一個(gè)小于1的根”為事件B，求B發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)閍有3種取法，b有5種取法，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)有3×5=15個(gè)，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2b}{a}$對(duì)稱，若事件A發(fā)生，則a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1，由此利用列舉法能求出A發(fā)生的概率．
（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b-6≤0，a＞0，b＞0}對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镽t△AOB，由此利用幾何概型能求出B 發(fā)生的概率．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍有3種取法，b有5種取法，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)有3×5=15個(gè)．（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2b}{a}$對(duì)稱，若事件A發(fā)生，則a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1．（3分）
數(shù)對(duì)（a，b）的取值為（1，-1），（2，-1），（2，1），（3，-1），（3，1）共5種．（5分）
所以P（A）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．（6分）
（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b-6≤0，a＞0，b＞0}對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镽t△AOB，
如圖．其中點(diǎn)A（6，0），B（0，$\frac{3}{2}$），
則△AOB的面積為$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×6=$\frac{9}{2}$．（8分）
若事件B發(fā)生，則f（1）＜0，即a-4b+2＜0．（9分）
所以事件B對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰾CD．
由$\left\{\begin{array}{l}a+4b-6=0\\ a-4b+2=0\end{array}$，得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，1）．
又C（0，$\frac{1}{2}$），則△BCD的面積為$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$）×2=1．
所以P（B）=$\frac{S△BCD}{S△AOB}$=$\frac{2}{9}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運(yùn)用．