Question

10．第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2016年8月5日至21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行，為了選拔某個(gè)項(xiàng)目的奧運(yùn)會(huì)參賽隊(duì)員，共舉行5次達(dá)標(biāo)測(cè)試，選手如果通過2次達(dá)標(biāo)測(cè)試即可參加里約奧運(yùn)會(huì)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)選手最多只能參加5次測(cè)試，假設(shè)某個(gè)選手每次通過測(cè)試的概率都是$\frac{1}{3}$，每次測(cè)試通過與是相互獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試．
（1）求該選手能夠參加本屆奧運(yùn)會(huì)的概率；
（2）記該選手參加測(cè)試的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）記“該選手能夠參加本屆奧運(yùn)會(huì)”為事件A，其對(duì)立事件為$\overline{A}$，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出該選手能夠參加本屆奧運(yùn)會(huì)的概率．
（2）該選手參加測(cè)試次數(shù)的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列、E（X）．

解答 解：（1）記“該選手能夠參加本屆奧運(yùn)會(huì)”為事件A，其對(duì)立事件為$\overline{A}$，
P（$\overline{A}$）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）+（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{112}{243}$，
∴P（A）=1-P（A）=1-$\frac{112}{243}$=$\frac{131}{243}$．
（2）該選手參加測(cè)試次數(shù)的可能取值為2，3，4，5，
P（X=2）=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）=\frac{4}{27}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）+（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{28}{81}$，
由于規(guī)定：若前4次都沒有通過測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試，
當(dāng)X=5時(shí)的情況，說明前4次只通過了1次，但不必考慮第5次是否通過，
∴P（X=5）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{28}{81}$	$\frac{32}{81}$

E（X）=$2×\frac{1}{9}+3×\frac{4}{27}+4×\frac{28}{81}+5×\frac{32}{81}$=$\frac{326}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．