Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓M過坐標原點O且圓心在曲線 上．
（1）若圓M分別與x軸、y軸交于點A、B（不同于原點O），求證：△AOB的面積為定值；
（2）設(shè)直線 與圓M 交于不同的兩點C，D，且|OC|=|OD|，求圓M的方程；
（3）設(shè)直線 與（Ⅱ）中所求圓M交于點E、F，P為直線x=5上的動點，直線PE，PF與圓M的另一個交點分別為G，H，求證：直線GH過定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可設(shè)圓M的方程為 ，

即 ．

令x=0，得 ；令y=0，得x=2t．

∴ （定值）

（2）解：由|OC|=|OD|，知OM⊥l．

所以 ，解得t=±1．

當t=1時，圓心M 到直線 的距離 小于半徑，符合題意；

當t=﹣1時，圓心M 到直線 的距離 大于半徑，不符合題意．

所以，所求圓M的方程為

（3）解：設(shè)P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），又知 ， ，

所以 ， ．

因為3kPE=kPF，所以 ．

將 ， 代入上式，

整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①

設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，代入 ，

整理得 ．

所以 ， ．

代入①式，并整理得 ，

即 ，

解得 或 ．

當 時，直線GH的方程為 ，過定點 ；

當 時，直線GH的方程為 ，過定點

檢驗定點 和E，F(xiàn)共線，不合題意，舍去．

故GH過定點

【解析】（1）由題意可設(shè)圓M的方程為 ，求出圓M分別與x軸、y軸交于點A、B的坐標，利用面積公式，可得：△AOB的面積為定值；（2）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再驗證，即可求圓M的方程；（3）設(shè)P（5，y0），G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，代入 ，利用韋達定理，確定直線方程，即可得出結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的標準方程的相關(guān)知識，掌握圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．