Question

已知函數f（x）=x²+（2+lga）x+lgb，且f（-1）=-2，如果對于一切實數x都有f（x）≥2x，求實數a，b的值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由f（-1）=-2，求得a=10b，再由對于一切實數x都有f（x）≥2x，整理，得到x²+lg（10b）x+lgb≥0恒成立，則有判別式△=lg²（10b）-4lgb≤0，解不等式即可得到a，b的值．

解答： 解：函數f（x）=x²+（2+lga）x+lgb，且f（-1）=-2，
則1-（2+lga）+lgb=-2，即有l(wèi)ga-lgb=1即a=10b，
由于對于一切實數x都有f（x）≥2x，
則x²+lg（10b）x+lgb≥0恒成立，
則有判別式△=lg²（10b）-4lgb≤0，
即（lgb-1）²≤0，但（lgb-1）²≥0，則lgb-1=0，解得，b=10，
則a=100．
故a=100，b=10．

點評：本題考查二次函數的圖形和性質，考查二次不等式恒成立問題，注意結合二次函數的性質，考查運算能力，屬于中檔題．