Question

（Ⅰ）試比較的大小；
（Ⅱ）試比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N₊）的大小，根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于，，則
又，，則
所以
（Ⅱ）猜想：當(dāng)n=1，2時(shí)，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ ； 當(dāng)n≥3時(shí)，有nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，不等式可化為：1＜2，顯然成立
當(dāng)n=2時(shí)，不等式可化為：2³＜3²，顯然成立
②當(dāng)n≥3時(shí)
設(shè)，
又
∴a_n+1＞a_n，即數(shù)列{a_n}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列
則a_n＞a_n-1＞…＞a₃＞1
∴即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
綜上所述，當(dāng)n=1、2時(shí)，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ
當(dāng)n≥3時(shí)，n^n+!＞（n+1）ⁿ
分析：（1）用指數(shù)運(yùn)算把根式化成整數(shù)后再比較大小
（2）給n賦值，計(jì)算結(jié)果，從而得到猜想，然后再用作商法證明猜想
點(diǎn)評(píng)：本題考查比較大小，間接考查指數(shù)運(yùn)算和歸納推理．比較兩個(gè)數(shù)的大小，最基本的方法是作差或作商．屬簡(jiǎn)單題