Question

已知函數(shù)簇 f_n（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7（n∈N^*）．
（1）設(shè)曲線列C_n：y=f_n（x）的頂點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列{a_n}，求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)曲線列C_n：y=f_n（x）的頂點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{b_n}，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求S₂₀．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）配方，確定函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點的縱坐標，從而可求數(shù)列{a_n}的通項，再證明為等差數(shù)列；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項，進而可分段求出{b_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵f（x）=x²-2（n+1）x+n²+5n-7=[x-（n+1）]²+3n-8，
∴a_n=3n-8，
∴a_n+1-a_n=3（n+1）-8-（3n-8）=3，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（2）解：由題意知，b_n=|a_n|=|3n-8|，
∴當1≤n≤2時，b_n=8-3n，
s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

n(b1+bn)

2

=

n[5+(8-3n)]

2

=

13n-3n2

2

；
當n≥3時，b_n=3n-8，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=5+2+1+…+（3n-8）=7+

(n-2)[1+(3n-8)]

2

=

3n2-13n+28

2

．
∴s_n=

13n-3n2 2 1≤n≤2 3n2-13n+28 2 n≥3

．
∴s₂₀=

3×202-13×20+28

2

=484．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查分類討論的數(shù)學思想，正確求數(shù)列的通項是關(guān)鍵．