Question

一個三棱柱恰好可放入一個正四棱柱的容體中，底面如圖所示，其中三棱柱的底面AEF是一個直角三角形，∠AEF=90°，AE=a，EF=b，三棱柱的高與正四棱柱的高均為1，則此正四棱柱的體積為

 

．

Answer 1

分析：令AB=c，由△ABE∽△ECF可得

AB

EC

=

AE

EF

=

a

b

，進而得到BE=c（1-

b

a

），再由勾股定理可得c²=

a4

a2-(a-b)2

，進而代入棱柱體積公式，可得答案．

解答：解：令AB=c
∵∠AEF=90°
∴△ABE∽△ECF
∴

AB

EC

=

AE

EF

=

a

b

∴EC=

bc

a

∴BE=c（1-

b

a

）
且有AB²+BE²=AE²
即c²+c²（1-

b

a

）²=a²
∴c²=

a2

1+(1- b a )2

=

a4

a2-(a-b)2

故正方形ABCD的面積S=

a4

a2-(a-b)2

又∵正四棱柱的高為1，
∴此正四棱柱的體積V=

a4

a2-(a-b)2

故答案為：

a4

a2-(a-b)2

點評：本題考查的知識點是棱柱的體積公式，其中根據三角形相似得到BE=c（1-

b

a

），進而得到c²=

a4

a2-(a-b)2

是解答的關鍵．