Question

18．用分析法證明：設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）

Answer 1

分析 分析法證明不等式，尋找使$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）成立的充分條件，直到使不等式成立的條件顯然具備為止．

解答 證明：要證$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
a+b≤0，顯然成立，
a+b＞0時(shí)，只要證a²+b²≥$\frac{1}{2}$（a+b）²，
只要證2（a²+b²）≥a²+2ab+b²，
只要證（a-b）²≥0，
顯然成立，故要證的不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，著重考查分析法的應(yīng)用，考查推理能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．