Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若a=2，x∈[1，9]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）若函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-2x+1的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，由x的范圍求得對數(shù)函數(shù)真數(shù)的范圍，則函數(shù)值域可求；
（Ⅲ）由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡y=a^f（x），把函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-2x+1的上方轉(zhuǎn)化為ax-

x

-(-2x+1)＞0恒成立，分離參數(shù)a后求出二次函數(shù)的最值，則答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則ax-

x

＞0，且x≥0，
即x＞

1

a2

，即函數(shù)f（x）的定義域{x|x＞

1

a2

}；
（Ⅱ）若a=2，則f（x）=log₂（2x-

x

），
∵x∈[1，9]，∴

x

∈[1，3]，
則2x-

x

∈[1，15]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，log₂15]；
（Ⅲ）y=a^f（x）=aloga(ax-

x

)=ax-

x

，
函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-2x+1的上方，
即ax-

x

-(-2x+1)＞0恒成立，
也就是a＞

1

x

+

1

x

-2在(

1

a2

，+∞)上恒成立．
令

1

x

=t，則t∈（0，a），
則a＞t²+t-2在t∈（0，a）恒成立，
∴a≥a²+a-2，解得0＜a≤

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域及值域的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分類變量法及配方法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．