Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CA B=45^o，∠DAB=60^o，F(xiàn)為的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖）．

（1）求證：OF//平面ACD；

（2）求二面角C- AD-B的余弦值；

（3）在上是否存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD?若存在，試指出點(diǎn)G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：（法一）：證明：（1）如右圖，連接，     

，，

又為的中點(diǎn)，，

．

平面，平面，

平面．3分

解：（2）過作于，連．     

，平面⊥平面．    

⊥平面．

又平面，

，

平面，，

則∠是二面角的平面角．       5分

，， ．

由⊥平面，平面，得為直角三角形，

，．

==．  8分

（3）設(shè)在上存在點(diǎn)，使得//平面，

平面， 平面平面，

，．

因此，在上存在點(diǎn)，使得//平面，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．10分

連，設(shè)與平面所成角為，點(diǎn)到平面的距離為．

===，==，

由=，得=，得．   12分

在中，，，由余弦定理得=，13分

=．           14分

（法二）：證明：（1）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系，則，．

，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

，即．

平面，平面，

平面．       3分

解：（2），點(diǎn)的坐標(biāo)，．

設(shè)二面角的大小為，為平面的一個法向量．

由 有 即

取，解得，．

=．                  5分

取平面的一個法向量=，   6分

．8分

（3）設(shè)在上存在點(diǎn)，使得//平面，

平面，

平面平面，則有．

設(shè)，，．

又，，解得（舍去）．

，則為的中點(diǎn)．

因此，在上存在點(diǎn)，使得//平面，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．11分

設(shè)直線與平面所成角為，

，

根據(jù)（2）的計(jì)算為平面的一個法向量，

．

因此，直線與平面所成角的正弦值為．   14分

考點(diǎn)：線面角；二面角；面面垂直的性質(zhì)定理；線面平行的判定定理、

點(diǎn)評：（1）本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．（2）二面角的求法是立體幾何中的一個難點(diǎn)。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對，出現(xiàn)的問題就是計(jì)算錯誤。