Question

已知α+2β=，α和β為銳角；
（1）若tan（α+β）=2+；求β；
（2）若tanβ=（2-）cot，滿足條件的α和β是否存在？若存在，請求出α和β的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為α+2β=，
∴tanβ=tan[（α+2β）-（α+β）]====1
由β為銳角，得到β=．
（2）由α+2β=得+β=，
∴tan（+β）==tan=，
∵tanβ=（2-）cot即tantanβ=2-
∴tan+tanβ=3-，
于是tan和tanβ是一元二次方程x²-（3-）x+2-=0的兩根，
解得x₁=1，x₂=2-．
若tan=1，則α=90°與0＜α＜90°矛盾，舍去；
∴tan=2-，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
故滿足條件的α和β存在，且α=30°，β=45°．
分析：（1）根據β=[（α+2β）-（α+β）]，然后利用兩角差的正切函數公式對等式兩邊取正切，根據tan（α+β）=2+和α+2β=化簡得到tanβ的值，根據特殊角的三角函數值求出β即可；
（2）由α+2β=兩邊除以2得到+β=，兩邊去正切值得到正切之和和正切之積的關系，然后再根據tanβ=（2-）cot得到正切之和，正切之積的值，利用根與系數的關系寫出一個方程，求出方程的解，利用特殊角的三角函數值求出α和β，故存在這樣的角度滿足條件．
點評：此題把三角函數和一元二次方程綜合在一起，考查學生靈活運用角的變換，靈活運用兩角差的正切函數的公式化簡求值．