Question

已知雙曲線，焦距2c=4，過(guò)點(diǎn)（2，3），
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程．
（2）直線l：y=kx+1與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得：，解得a，b，c即可．
（2）聯(lián)立消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．分當(dāng)3-k²=0時(shí)，與當(dāng)3-k²≠0時(shí)，△=0．解得k即可．
解答：解：（1）由已知得：，解得．
∴雙曲線的方程為，
雙曲線的漸近線：．
（2）聯(lián)立消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．
當(dāng)3-k²=0時(shí)，即，，
此時(shí)直線l與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意．        
當(dāng)3-k²≠0時(shí)，△=4 k²-4（3-k²）（-4）=0．解得k=±2．
綜上所述或k=±2．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線的相交問(wèn)題掌握方程聯(lián)立利用△與的關(guān)系、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．