Question

10．已知函數f（x）=${log_{\frac{1}{3}}}（{x^2}-ax+3a）$在[1，+∞）上單調遞減，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． [2，+∞）
• C． $[-\frac{1}{2}，2]$
• D． $（-\frac{1}{2}，2]$

Answer 1

分析 可看出該函數是由t=x²-ax+3a和$y=lo{g}_{\frac{1}{3}}t$復合而成的復合函數，這樣根據二次函數、對數函數和復合函數的單調性及對數函數的定義域便可建立關于a的不等式組，解出a的取值范圍即可．

解答 解：設y=f（x），令x²-ax+3a=t，則$y=lo{g}_{\frac{1}{3}}t$單調遞減；
∵f（x）在[1，+∞）上單調遞減；
∴t=x²-ax+3a在[1，+∞）上單調遞增，且滿足t＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{{1}^{2}-a•1+3a＞0}\end{array}\right.$；
解得，$-\frac{1}{2}＜a≤2$；
∴實數a的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，2]$．
故選D．

點評 本題考查二次函數、對數函數和復合函數的單調性，以及復合函數的定義，對數函數的定義域．