Question

∫

1 -1

(

1-x2

+ex-1)dx=

π

2

+e-

1

e

-2

．

Answer 1

分析：法一：先使用三角換元法求出

∫

1 -1

1-x2

dx，進而得出答案．
法二：利用定積分的意義可知：

∫

1 -1

1-x2

dx表示曲線y=

1-x2

與x軸所圍成的圖形的面積，如圖所示，即可算出．

解答：解：法一：對于

∫

1 -1

1-x2

dx，令x=sint，
∵x∈[-1，1]，取t∈[-

π

2

，

π

2

]，則

∫

1 -1

1-x2

dx=

∫

π 2 - π 2

costdsint=

∫

π 2 - π 2

cos2tdt=

∫

π 2 - π 2

1+cos2t

2

dt=

1

2

(t+

1

2

sin2t)

|

π 2 - π 2

=

π

2

．
法二：令y=

1-x2

，當-1≤x≤1時，表示如圖所示的上半圓，
∴

∫

1 -1

1-x2

dx表示的是此半圓的面積=

1

2

×π×12=

π

2

．
∵

∫

1 -1

(ex-1)dx=(ex-x)

|

1 -1

=e-

1

e

-2，
∴

∫

1 -1

(

1-x2

+ex-1)dx=

π

2

+e-

1

e

-2．
故答案為

π

2

+e-

1

e

-2．

點評：正確使用換元法、利用定積分的意義和微積分基本定理是解題的關鍵．利用換元法求定積分也是常用方法之一，屬于較高要求．